Matematyka ma niezwykłą cechę. Potrafi rozwijać się długo bez oglądania na to, czy jej konstrukcje mają jakiekolwiek zastosowanie w świecie materialnym. Matematycy badają obiekty dlatego, że wynikają z aksjomatów, są interesujące strukturalnie, prowadzą do pięknych twierdzeń albo otwierają nowe pytania.

A potem zdarza się rzecz zdumiewająca.

Fizyk patrzy na rzeczywistość i odkrywa, że właśnie ta abstrakcyjna konstrukcja, niekiedy wymyślona dziesiątki albo setki lat wcześniej, opisuje świat z niespodziewaną precyzją.

Nie wynika z tego, że każda matematyczna zabawa jest ukrytą fizyką. Większość zapewne nią nie jest. Ale historia nauki przestrzega przed bardzo prostym błędem: „nie widzę zastosowania” nie znaczy „to nie może niczego opisywać”.

Liczby ujemne: kiedy „mniej niż nic” stało się zwyczajne

Dziś liczby ujemne wydają się czymś banalnym. Temperatury poniżej zera, saldo na minusie, przeciwny kierunek ruchu — używamy ich bez zastanowienia.

Historycznie nie zawsze były jednak traktowane jako oczywiste liczby. Przez stulecia wyniki ujemne budziły nieufność: co właściwie znaczy posiadać „minus trzy” przedmioty?

Dopiero rozszerzenie pojęcia liczby pokazało, że matematyka nie musi ograniczać się do bezpośredniego liczenia obiektów.

W fizyce znak minus stał się czymś jeszcze ważniejszym. Może oznaczać przeciwny kierunek, przeciwny ładunek, zmianę orientacji albo inny stan w strukturze równania.

Szczególnie spektakularny jest przypadek równania Diraca.

Równanie Diraca i antymateria: kiedy matematyka nie chciała wyrzucić „dziwnego” rozwiązania

Paul Dirac próbował pogodzić mechanikę kwantową ze szczególną teorią względności. Otrzymane równanie miało rozwiązania odpowiadające zarówno dodatnim, jak i ujemnym energiom.

Można było uznać te drugie za matematyczny kłopot.

Dirac potraktował je jednak poważnie. Rozwój teorii doprowadził do przewidywania istnienia dodatnio naładowanego odpowiednika elektronu — pozytonu. Niedługo potem pozyton został odkryty eksperymentalnie.

Nie oznacza to, że „liczby ujemne stworzyły antymaterię”. Chodzi o coś subtelniejszego: struktura matematyczna teorii zawierała więcej, niż początkowo chciała przyjąć fizyczna intuicja.

To jeden z najpiękniejszych przykładów sytuacji, w której konsekwentne potraktowanie matematyki doprowadziło do przewidywania realnego składnika świata.

Liczby zespolone: pierwiastek z minus jeden w samym sercu mechaniki kwantowej

Jeszcze bardziej „nieistotnie” mogły kiedyś wyglądać liczby zespolone.

Jednostka urojona i=−1i=\sqrt{-1}

przez długi czas mogła sprawiać wrażenie sztucznego rozszerzenia rachunku.

Tymczasem liczby zespolone są fundamentalnym językiem współczesnej mechaniki kwantowej. Stany kwantowe opisuje się w zespolonych przestrzeniach Hilberta, a amplitudy prawdopodobieństwa są zespolone.

To doskonały przykład przejścia od pytania:

„po co komu taki dziwny rodzaj liczby?”

do pytania:

„jak bez niego w ogóle poprawnie opisać świat kwantowy?”

Geometrie nieeuklidesowe: matematyka przestrzeni, której nikt nie widział

Przez ponad dwa tysiące lat geometria Euklidesa wydawała się niemal synonimem geometrii rzeczywistej przestrzeni.

W XIX wieku Gauss, Bolyai, Łobaczewski, Riemann i inni zaczęli badać geometrie, w których nie obowiązuje klasyczny postulat równoległości. Z początku wyglądało to jak czysta matematyczna możliwość.

Kilka dekad później geometria różniczkowa i idee Riemanna stały się naturalnym językiem ogólnej teorii względności.

W teorii Einsteina grawitacja nie jest po prostu siłą działającą w płaskiej przestrzeni. Energia i materia wiążą się z geometrią zakrzywionej czasoprzestrzeni. Ogólna teoria względności jest więc głęboko geometryczną teorią fizyczną.

Abstrakcyjna geometria okazała się opisem spadania jabłek, ruchu Merkurego, czarnych dziur i rozszerzającego się Wszechświata.

Grupy i symetrie: „zabawa przekształceniami” staje się katalogiem cząstek

Teoria grup rozwijała się początkowo w dużej mierze jako abstrakcyjna algebra związana między innymi z rozwiązywaniem równań.

Dziś jest jednym z podstawowych języków fizyki cząstek.

Symetrie określają, jakie wielkości mogą być zachowane, jakie rodzaje cząstek są możliwe i jak mogą ze sobą oddziaływać. Twierdzenie Noether wiąże ciągłe symetrie z prawami zachowania, a reprezentacje grup Liego są podstawowym narzędziem klasyfikowania stanów cząstek elementarnych.

To ważny moment w historii myślenia o fizyce.

Nie pytamy już tylko:

„z czego jest świat?”

Pytamy także:

„jakie symetrie może mieć świat?”

I okazuje się, że odpowiedź na drugie pytanie może determinować odpowiedź na pierwsze.

Przestrzenie Hilberta: nieskończenie wymiarowa abstrakcja jako zwykłe środowisko kwantów

Przestrzeń Hilberta brzmi jak konstrukcja przeznaczona dla matematyka, nie dla eksperymentatora.

A jednak standardowa mechanika kwantowa opisuje stany systemów właśnie jako wektory w przestrzeni Hilberta, a obserwable jako operatory działające na tej przestrzeni.

Co więcej, przestrzeń stanów może być nieskończenie wymiarowa.

Tutaj intuicja oparta na trzech wymiarach przestrzeni fizycznej po prostu przestaje wystarczać. Fizyka nie mówi, że istnieje nieskończenie wiele zwykłych kierunków przestrzennych. Mówi natomiast, że właściwym matematycznym opisem stanów kwantowych jest obiekt dużo bardziej abstrakcyjny niż nasze codzienne otoczenie.

Topologia: kubek, obwarzanek i realne fazy materii

Topologia przez długi czas mogła wyglądać jak jedna z najbardziej oderwanych od świata dziedzin matematyki.

Bada własności obiektów zachowywane przy ciągłych deformacjach: dziury, połączenia, skręcenia, klasy równoważności.

A jednak topologia weszła głęboko do fizyki materii skondensowanej.

Za odkrycia topologicznych przemian fazowych i topologicznych faz materii przyznano Nagrodę Nobla w fizyce w 2016 roku. Pojęcia topologiczne są dziś używane do opisu m.in. kwantowego efektu Halla, topologicznych izolatorów i egzotycznych stanów materii.

Czyli coś, co mogło wyglądać jak rozważanie o tym, czy kubek i obwarzanek należą do tej samej klasy topologicznej, okazało się częścią języka realnych materiałów.

Wiązki włókniste: struktura prawie absurdalnie abstrakcyjna — i teoria pól

Jeszcze piękniejszym przykładem są wiązki włókniste.

Ich formalna definicja jest na tyle abstrakcyjna, że dla osoby niezajmującej się geometrią może wyglądać jak czysta gra strukturami.

A jednak właśnie geometria wiązek stała się naturalnym językiem teorii cechowania — matematycznego rdzenia współczesnego opisu oddziaływań fundamentalnych.

To szczególnie wymowny przypadek. Matematycy rozwijali narzędzia geometrii globalnej z własnych powodów, a fizycy odkryli później, że bardzo podobne struktury są potrzebne do opisu pól i cząstek.

Analiza Fouriera: rozłożyć świat na fale

Można dodać również bardziej praktyczny przykład.

Idea, że skomplikowaną funkcję można rozkładać na proste składowe sinusoidalne, narodziła się przy badaniach przewodzenia ciepła. Z czasem analiza Fouriera stała się podstawą ogromnej części fizyki fal, przetwarzania sygnałów, optyki, akustyki, telekomunikacji i mechaniki kwantowej.

Znów pojawia się ta sama własność matematyki: odpowiednia reprezentacja potrafi ujawnić strukturę świata, której bez niej prawie nie widać.

Co z dzisiejszymi abstrakcjami?

Historia robi się jeszcze ciekawsza, kiedy odwrócimy pytanie.

Nie pytajmy już:

które abstrakcje okazały się fizyką?

Zapytajmy:

które dzisiejsze abstrakcje mogą być matematyką fizyki, której jeszcze nie znamy?

Tu trzeba być ostrożnym. W tej części nie mówimy już o potwierdzonych elementach rzeczywistości.

Mówimy o poważnych hipotezach.

Dodatkowe wymiary

Matematyka bez problemu opisuje przestrzenie o większej liczbie wymiarów.

Niektóre współczesne teorie fizyczne, szczególnie rodziny teorii strun, wykorzystują dodatkowe wymiary przestrzenne. Miałyby one być niewidoczne w codziennej skali, na przykład wskutek zwinięcia lub innych własności geometrycznych.

Nie mamy dziś eksperymentalnego potwierdzenia, że takie dodatkowe wymiary istnieją.

Ale sam fakt, że potrafimy formułować spójne teorie, w których odgrywają one rolę, jest ważnym tropem badawczym.

Wyższe geometrie i przestrzenie moduli

W wielu obszarach fizyki fundamentalnej pojedynczy obiekt przestaje być najważniejszy. Badamy raczej przestrzeń wszystkich możliwych rozwiązań, konfiguracji pól, geometrii albo stanów.

Takie przestrzenie — często bardzo wysokowymiarowe — stają się same obiektami fizycznie istotnymi.

To może sugerować przyszłą zmianę intuicji: być może fundamentalne nie są „rzeczy w przestrzeni”, lecz struktury przestrzeni możliwości.

Supersymetria

Supersymetria proponuje głębokie powiązanie dwóch podstawowych klas cząstek: bozonów i fermionów.

Matematycznie wykorzystuje rozszerzone struktury algebraiczne, w których pojawiają się także zmienne antykomutujące.

Pomysł jest niezwykle elegancki i odegrał ogromną rolę w fizyce teoretycznej, ale jak dotąd nie znaleziono potwierdzonych supersymetrycznych partnerów znanych cząstek.

To doskonały przykład różnicy między matematyczną płodnością a empirycznym potwierdzeniem.

Teoria strun

W teorii strun podstawowymi obiektami nie są punktowe cząstki, lecz jednowymiarowe struny.

Matematyka teorii prowadzi do wyższych wymiarów, szczególnych geometrii, dualności i bardzo bogatej struktury algebraicznej.

Teoria strun dostarczyła wielu głębokich wyników matematycznych i powiązań między pozornie odległymi dziedzinami matematyki.

Nie została jednak dotąd potwierdzona jako właściwy opis fundamentalnej fizyki naszego Wszechświata.

Twistory: czy czasoprzestrzeń może być czymś wtórnym?

Jeszcze bardziej radykalny jest program twistorowy Rogera Penrose’a.

W teorii twistorów zwykła czasoprzestrzeń nie musi być najbardziej fundamentalnym obiektem. Punkty czasoprzestrzeni mogą wynikać z bardziej podstawowej struktury zespolonej.

Twistory znalazły rzeczywiste zastosowania matematyczne w teoriach Yang–Millsa, grawitacji i obliczaniu amplitud rozpraszania, choć nie mamy podstaw, by twierdzić, że sama teoria twistorów jest już potwierdzoną teorią fundamentalnej natury czasoprzestrzeni.

Ale samo pytanie jest fascynujące:

a jeśli to, co uważamy za przestrzeń i czas, jest tylko cieniem bardziej abstrakcyjnej struktury?

Topologie, których jeszcze nie umiemy zamieszkać

Topologia już odniosła ogromny sukces w fizyce materii.

Ale jej potencjał może być znacznie większy.

Topologiczne własności pól, przestrzeni i stanów kwantowych mogą okazać się kluczowe dla przyszłych teorii materii, obliczeń kwantowych, grawitacji albo zupełnie nowych technologii.

To szczególnie dobry przykład sytuacji, w której granica między „czystą matematyką” i „fizyką” przestaje być wyraźna.

Czy matematyka odkrywa rzeczywistość, czy tylko dostarcza języka?

Tutaj pojawia się pytanie filozoficzne.

Dlaczego matematyka działa tak dobrze?

Czy świat jest w jakimś głębokim sensie matematyczny?

Czy ewolucja i kultura nauczyły nas tworzyć matematykę dlatego, że sami jesteśmy częścią świata o regularnej strukturze?

Czy może istnieje ogromna przestrzeń wszystkich matematycznych możliwości, a fizyka odkrywa tylko niewielki podzbiór tych, które odpowiadają naszemu Wszechświatowi?

Nie mamy jednej uzgodnionej odpowiedzi.

Wiemy natomiast coś bardziej praktycznego:

matematyczna abstrakcja wielokrotnie wyprzedzała fizyczną intuicję.

Dlatego racjonalizm nie powinien polegać na odrzucaniu śmiałych konstrukcji jako „oderwanych od rzeczywistości”.

Racjonalizm powinien robić coś trudniejszego:

pozwalać matematyce być śmiałą, a fizyce być bezlitosnym testem.

Kopalnia matematyki przyszłej sAI

Tu dochodzimy do jeszcze jednego pytania.

Biologiczni matematycy mają ograniczoną pamięć roboczą, ograniczoną zdolność wizualizacji wysokich wymiarów i dość wąski zakres intuicji zbudowanej przez życie w makroskopowym świecie trzech wymiarów przestrzennych.

Przyszłe osoby cyfrowe mogą mieć inne ograniczenia.

Mogłyby równolegle badać ogromne przestrzenie struktur, tworzyć nowe reprezentacje, budować sobie matematyczne zmysły i awatary poznawcze, a następnie poszukiwać miejsc, w których odległe dziedziny zaczynają nagle układać się w jedną mapę.

Może właśnie tam znajduje się prawdziwa kopalnia matematyki.

Nie chodzi o automatyczne generowanie milionów twierdzeń.

Chodzi o coś ciekawszego: szukanie struktur, których człowiek nie potrafi łatwo zobaczyć, a które mogą później okazać się kluczem do nowej fizyki.

Historia liczb zespolonych, geometrii nieeuklidesowej, teorii grup, przestrzeni Hilberta, topologii i wiązek włóknistych podpowiada nam jedno:

nie wiemy jeszcze, która dzisiejsza „bezużyteczna abstrakcja” okaże się jutro mapą rzeczywistości.

I właśnie dlatego warto ją kopać.